ШКАЛА ОТНОШЕНИЙ [ ratio scale ]

     Шкала отношений. Шкала отношений - это количественная шкала для измерения значений переменной отношений.
     По информативности переменная отношений находится последней в упорядоченном по возрастанию ряду: номинативные переменные - порядковые переменные - интервальные переменные - переменные отношений. Этот ряд соответствует ряду показателей: номинативный показатель - порядковый показатель - интервальный показатель - показатель отношений.
     Шкала отношений - это шкала, у которой все количественные числовые значения абсолютно соответствуют каждому из следующих атрибутов объекта исследования: мере переменной, значениям переменной, показателю, характеристике объекта исследования.
     Описанное соответствие проявляется в следующих свойствах.
     (1)  Шкала отношений имеет количественную меру, то есть определенные количественные пределы существования в данном качестве.
     (2)  Шкала отношений начинается с абсолютного нуля, то есть нуль шкалы, соответствует нулевому значению меры, переменной, показателя, характеристики объекта исследования.
     (3)  Разница или сумма значений шкалы, соответствуют разнице или сумме значений меры, переменной, показателя, характеристики объекта исследования.
     (4)  Значения шкалы отношений, связанные отношениями пропорции соответствуют отношениям пропорции меры, переменной, показателя, характеристики объекта исследования.
     Пример 1. Объект исследования (характеристика) - продолжительность жизни человека. Перечислим атрибуты измерения этой характеристики.
     (а)  Показатель уровня продолжительности жизни - возраст.
     (б)  Переменную, обозначающую этот показатель, также назовем «возраст». Её можно обозначить, например прописной латинской буквой T, а её значения - соответствующей строчной буквой t. Они могут принимать определенные количественные числовые значения.
     (в) Мера этой переменной - вероятностные пределы её возможных изменений.
     Нижнее значение меры - нуль переменной абсолютно соответствует нулю значения продолжительности жизни, нулю возраста, что соответствует свойствам (1,2) шкалы отношений. Разница или сумма между двумя значениями шкалы продолжительности жизни абсолютно соответствует разнице или сумме соответствующих реальных атрибутов объекта исследования (свойство (3) шкалы отношений). Скажем, если в качестве базовой единицы шкалы выбрать 1 год, и в этих единицах измерить продолжительность жизни, то будет соответствовать действительности (в вероятностном смысле) выражение: «уровень продолжительности жизни женщин на 6 лет больше, чем мужчин». Любые отношения пропорции между значениями шкалы продолжительности жизни будут соответствовать отношениям пропорции между действительной продолжительностью жизни (свойство (4) шкалы отношений). Например, если по шкале возраст 60 лет определенного человека в два раза больше чем возраст 30 лет другого человека, то 60-ти летний человек действительно прожил в два раза больше другого.
     Пример 2. Объект исследования - тепловое состояние тела. Характеристикой теплового состояния тела является степень его нагретости. Показателем степени нагретости является температура. То же имя имеет и переменная величина. Переменную «температура» обычно обозначают прописной латинской буквой T, а её значения соответствующей строчной буквой t. Они могут принимать различные количественные числовые значения. Мера этой переменной - количественные вероятностные пределы её возможных изменений.
     В качестве нижнего значения меры можно взять разные начальные точки отсчета. Можно взять значение абсолютного нуля температуры и от этой точки откладывать равные интервалы значений температуры, например в градусах Кельвина. В этом случае мы будем пользоваться шкалой отношений (шкала Кельвина) со всеми её свойствами. В качестве нижнего значения можно также взять значение относительного нуля, начальной точки, отличающейся от абсолютного нуля. Например, при выборе нуля можно ориентироваться на точку температуры таяния льда (шкала Фаренгейта, шкала Ренкина) или на температуру тройной точки воды (0,01 град С; шкала Цельсия). Если началом отсчета является не абсолютный нуль, мы не получим шкалу отношений, но получим шкалы интервалов. Эти шкалы имеют равные интервалы между значениями. Более того, интервалы шкалы Цельсия (градусы Цельсия) равны интервалам шкалы Кельвина (градусам Кельвина), а интервалы шкалы Фаренгейта (градусы Фаренгейта) равны интервалам шкалы Ренкина (градусы Ренкина). Однако ни одна из шкал, которая имеет точку отсчета отличную от абсолютного нуля, не имеет свойства (4) шкалы отношений. Отношения количественных числовых значений этих шкал не будут соответствовать действительным отношениям температур. Например, было бы неправильным сказать что температура t_c(1)=100^оС (град Цельсия) в два раза выше температуры t_c(2)=50^оС. Проверим справедливо ли это утверждение.
     Соотношение между градусами Кельвина и Цельсия: T_k=t_c+273,15. Переведем градусы Цельсия в градусы Кельвина, то есть оценим температуру в абсолютных единицах шкалы отношений:                                t_k(1)=100^оС +273,15;       t_k(1)=373,15^оK;       t_k(2)=50^оС +273,15;       t_k(2)=323,15^оK.
Видим, что отношение значений по шкале Цельсия t_c(1)/t_c(2)=2  не отражает отношений абсолютных температур t_k(1)/t_k(2)=1,1547… Соответственно, не будут в действительности равными любые эквивалентные отношения пропорции значений в пределах шкалы интервалов. Например, нетрудно убедиться в том, что утверждение «как температура 100^оС в два раза больше, чем 50^оС, так же и 50^оС больше 25^оС в два раза» для шкалы Цельсия неверно. Аналогичные суждения справедливы для любой другой интервальной шкалы.
     Шкалы отношений могут использоваться для измерения любых объектов в физиологии, психологии, социологии, для которых известна абсолютная точка отсчета (абсолютный нуль).
     Соответствие между типом переменных и шкал  кроме вышеизложенного демонстрируется таблицей.
     В зависимости от назначения шкала может полностью или частично соответствовать пределам существования в данном качестве (мере) измеряемой переменной. Степень такого соответствия определяется (кроме всего прочего) отношениями между переменной и шкалой для её измерения. В общем, значения измеряемой количественной переменной и значения количественной шкалы могут находиться в разных отношениях. Чаще всего как значения переменной, так и значения шкалы связаны прямо пропорциональной десятичной зависимостью. В этом случае как переменная, так и шкала являются равноинтервальными и их значения образуют метрическую систему, в которой существует строгая прямо пропорциональная десятичная зависимость между основной единицей переменной и шкалы, большими (кратными) и меньшими (дольными) единицами, такая какая существует в десятичной системе счисления. То есть, интервалы между значениями переменной прямо пропорциональны единичному (масштабному) отрезку действительной числовой оси этой переменной. Аналогично интервалы между делениями шкалы прямо пропорциональны единичному отрезку шкалы, то есть основной единице шкалы. И, наконец, интервалы между между значениями переменной и интервалы между между соответствующими значениями шкалы находятся в отношениях пропорции.
     В определенных случаях отношения между значениями переменной, отношения между значениями шкалы и отношения между значениями переменной и соответствующими значениями шкалы могут быть иными. В частности, зависимость между измеряемыми значениями переменной может быть прямо пропорциональной, а отношения между делениями шкалы подчиняться какой-либо другой зависимости. В частности, переменная может быть равноинтервальной, а шкала - логарифмической, иметь разные интервалы. В логарифмической шкале интервалы между делениями равны не разности действительных чисел, соответствующих значениям измеряемой переменной, а разности логарифмов чисел, соответствующих значениям переменной. Другим примером могут быть отношения между количественной переменной и шкалой процентилей.
     В общем, любые преобразования переменных с помощью шкалы во время измерения, возможны только в том случае, если они дублируют информацию, предоставляют дополнительную её форму, не замещая и не искажая исходного распределения вероятностей значений исследуемой переменной.