ОДНОСТОРОННИЙ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ [ one-sided confidence interval for mathematical expectation ]

     В некоторых задачах требуется найти не двусторонний доверительный интервал для математического ожидания, а только один из его односторонних интервалов, то есть оценку его только нижнего возможного предела или оценку его только верхнего возможного предела.
     Пусть случайная величина - количественный признак X распределена нормально, причем среднее квадратичное отклонение σ и математическое ожидание a этого распределения неизвестны. В результате независимых наблюдений над признаком X из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объёма n.  Значения признака X: x₁, x₂,..., x_n.  Частота появления этих значений: n_i: n₁, n₂,..., n_k.  Причем, n = n₂ = ... = n_k = n.  Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a  и  найти односторонний доверительный интервал (верхний или нижний), покрывающий параметр  a  с надежностью g.
     Выберем в качестве оценки математического ожидания  a  выборочную среднюю`x,  а в качестве оценки  σ  величину s = Ц{[1/(n-k)]Ч[еn<sub>i</sub>(x<sub>i</sub> -`x)²]},  где i = 1,2,..., k.  Тогда доверительные интервалы, покрывающие неизвестный параметр a  с надежностью g, определятся следующим образом: оценка снизу`x-t<sub>1- a</sub>·(s/Цn) ≤ a;  оценка сверху a ≤`x+t_{1- a}·(s/Цn).  Здесь t_{1- a} - симметричные значения функции t - распределения Стъюдента, соответствующие уровню зна́чимости a = 1-g, или то же что Q%-ная квантиль этого распределения (Q = (1-g)·100%).
     Распределение Стъюдента зависит от объёма выборки - n  и не зависит от математического ожидания - a  и среднеквадратичного отклонения - σ.  Имеются готовые таблицы, пользуясь которыми по заданным t_{1- a}  и  n  находят вероятность g или по заданным g (или a = 1- g)  и  n  находят соответствующие квантили t_{1- a}.
     Пример.  Предполагается, что количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По данным выборки объёмом  n = 16  вычислены оценка математического ожидания `x = 20,2  и  оценка среднеквадратичного отклонения  s = 0,8. Необходимо на основании имеющихся точечных оценок`x  и  s сделать интервальную оценку снизу неизвестного математического ожидания - a с надежностью g = 0,95. Пользуясь таблицей (Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., Изд. АН СССР, 1988, табл. 3.2, Большев Логин Николаевич - советский математик, 1922-1978, Смирнов Николай Васильевич, советский математик, 1900-1966),  для  g = 0,95 (a = 0,05; Q = (1-g)·100% = 5%)  и  n = 16  находим  t_{1- a} = 1,7459.  Вычислим нижнюю доверительную границу:

`x-t_{1- a}·(s/Цn) = 20,2-1,7459·(0,8/Ц16) = 19,85082.

     Итак, неизвестный параметр - математическое ожидание  a  с вероятностью g = 0,95  заключен в одностороннем доверительном интервале 19,85082 ≤ a.
     Аналогично, если бы стояла противоположная задача оценить только верхнюю доверительную границу, то нетрудно вычислить a ≤`x+t_{1- a}·(s/Цn) = 20,54918.  И тогда неизвестный параметр - математическое ожидание  a  с  вероятностью g = 0,95 был бы заключен в одностороннем доверительном интервале a ≤ 20,54918.
     Рассмотренные вычисления могут быть легко сделаны с помощью статистических программ для персональной ЭВМ. Из многочисленных статистических программ можно рекомендовать хорошо известные программы:
     - Statistica (URL: http://www.statsoftinc.com/textbook/stathome.html) или
     - SPSS (URL: http://www.spssscience.com/spss11).